Bài tập 13, § 6

Cho $G$ là một nhóm, $H$ là một nhóm con của $G$, $M$ là một $\mathbf{Z}^{(H)}$-môđun trái, $N$ là một $\mathbf{Z}^{(H)}$-môđun phải. Trang bị cho nhóm $\hat{M} = \mathrm{Hom}_{\mathbf{Z}(H)}(\mathbf{Z}^{(G)}, M)$ (tương ứng, $\tilde{N} = N \otimes_{\mathbf{Z}(H)} \mathbf{Z}^{(G)}$) cấu trúc của một $\mathbf{Z}^{(G)}$-môđun trái (tương ứng, phải) suy ra từ cấu trúc của $\mathbf{Z}^{(G)}$-môđun phải của $\mathbf{Z}^{(G)}$.

Cho $m : \hat{M} \to M$ và $n : N \to \tilde{N}$ là các đồng cấu $\mathbf{Z}^{(H)}$ sao cho $m(u) = u(1)$ với $u \in \hat{M}$ và

và cho $i : H \to G$ là đơn ánh chính tắc. Chứng minh rằng các đồng cấu hợp thành và là các đẳng cấu với mọi $q \geqslant 0$.