Exercice 14, § 6

Soient G un groupe, H un sous-groupe d’indice fini de G. On pose $n = (G : H)$. a) Soient Q, M deux $\mathbf{Z}^{(G)}$-modules. Montrer qu’il existe un $\mathbf{Z}$-homomorphisme

tel que l’on ait, pour tout système de représentants $g_1, \ldots, g_n$ des classes de G modulo H, Si $j : \mathrm{Hom}_{\mathbf{Z}(G)}(Q, M) \to \mathrm{Hom}_{\mathbf{Z}(H)}(Q, M)$ est l’injection canonique, on a $t \circ j = n.\mathrm{Id}$. b) Soit N un $\mathbf{Z}^{(G)}$-module à droite. Avec les notations de a), montrer qu’il existe un $\mathbf{Z}$-homomorphisme $\theta : N \otimes_{\mathbf{Z}(G)} Q \to N \otimes_{\mathbf{Z}(H)} Q$ tel que Si $p : N \otimes_{\mathbf{Z}(H)} Q \to N \otimes_{\mathbf{Z}(G)} Q$ est l’application canonique, on a $p \circ \theta = n.\mathrm{Id}$. c) Soient P une résolution projective du $\mathbf{Z}^{(G)}$-module $\mathbf{Z}$, q un entier. En appliquant a) et b) avec $Q = P_q$, définir des homomorphismes $t^q : H^q(H, M) \to H^q(G, M)$ et $\theta_q : H_q(G, N) \to H_q(H, N)$. Si $i$ désigne l’injection canonique de H dans G, on a $t^q \circ i^q = n.\mathrm{Id}$ et $i_q \circ \theta_q = n.\mathrm{Id}$. d) On considère les $\mathbf{Z}^{(G)}$-modules $\hat{M} = \mathrm{Hom}_{\mathbf{Z}(H)}(\mathbf{Z}^{(G)}, M)$ et $\tilde{N} = N \otimes_{\mathbf{Z}(H)} \mathbf{Z}^{(G)}$ (exercice 13). En prenant $Q = \mathbf{Z}^{(G)}$, on obtient à partir des homomorphismes t et $\theta$ de a) et b) des homomorphismes $t_M : \hat{M} \to M$ et $\theta_N : N \to \tilde{N}$. Montrer que ces homomorphismes sont $\mathbf{Z}^{(G)}$-linéaires. Montrer que l’homomorphisme composé (resp. $H_q(G, N) \xrightarrow{H_q(G, \theta_N)} H_q(G, \tilde{N}) \xrightarrow{(\tilde{i}_q)^{-1}} H_q(H, N)$) est égal à $t^q$ (resp. $\theta_q$).

e) Soit $(g_1, \ldots, g_n)$ un système de représentant des classes de G modulo H, et soit $x \in H^0(H, M)$. Montrer que l’on a $t^0(x) = \sum_{i=1}^n g_i x$. Décrire $t^1$. f) Si l’on identifie les groupes $H_1(G, \mathbf{Z})$ et $H_1(H, \mathbf{Z})$ à $G/(G, G)$ et $H/(H, H)$ respectivement, l’homomorphisme $t_1$ s’identifie à un homomorphisme ($\text{transfert}$) $V : G/(G, G) \to H/(H, H)$. Si $\tilde{s} : H/G \to G$ est une section de l’application canonique, montrer que V est obtenu par passage au quotient à partir de l’application $V_s : G \to H$ telle que