Bài tập 14, § 6

Cho G là một nhóm, H là một nhóm con có chỉ số hữu hạn của G. Đặt $n = (G : H)$. a) Cho Q, M là hai $\mathbf{Z}^{(G)}$-môđun. Bây giờ chứng minh rằng tồn tại một đồng cấu $\mathbf{Z}$

sao cho, với mọi hệ đại diện $g_1, \ldots, g_n$ của các lớp của G modulo H, Nếu $j : \mathrm{Hom}_{\mathbf{Z}(G)}(Q, M) \to \mathrm{Hom}_{\mathbf{Z}(H)}(Q, M)$ là đơn ánh chính tắc, ta có $t \circ j = n.\mathrm{Id}$. b) Cho N là một $\mathbf{Z}^{(G)}$-môđun phải. Với các ký hiệu của a), bây giờ chứng minh rằng tồn tại một đồng cấu $\mathbf{Z}$ $\theta : N \otimes_{\mathbf{Z}(G)} Q \to N \otimes_{\mathbf{Z}(H)} Q$ sao cho Nếu $p : N \otimes_{\mathbf{Z}(H)} Q \to N \otimes_{\mathbf{Z}(G)} Q$ là ánh xạ chính tắc, ta có $p \circ \theta = n.\mathrm{Id}$. c) Cho P là một phân giải xạ ảnh của $\mathbf{Z}$-môđun $\mathbf{Z}^{(G)}$, q là một số nguyên. Áp dụng a) và b) với $Q = P_q$, định nghĩa các đồng cấu $t^q : H^q(H, M) \to H^q(G, M)$ và $\theta_q : H_q(G, N) \to H_q(H, N)$. Nếu $i$ là đơn ánh chính tắc của H vào G, ta có $t^q \circ i^q = n.\mathrm{Id}$ và $i_q \circ \theta_q = n.\mathrm{Id}$. d) Xét các $\mathbf{Z}^{(G)}$-môđun $\hat{M} = \mathrm{Hom}_{\mathbf{Z}(H)}(\mathbf{Z}^{(G)}, M)$ và $\tilde{N} = N \otimes_{\mathbf{Z}(H)} \mathbf{Z}^{(G)}$ (bài tập 13). Lấy $Q = \mathbf{Z}^{(G)}$, từ các đồng cấu t và $\theta$ của a) và b) thu được các đồng cấu $t_M : \hat{M} \to M$ và $\theta_N : N \to \tilde{N}$. Bây giờ chứng minh rằng các đồng cấu này là $\mathbf{Z}^{(G)}$-tuyến tính. Bây giờ chứng minh rằng đồng cấu hợp thành (tương ứng $H_q(G, N) \xrightarrow{H_q(G, \theta_N)} H_q(G, \tilde{N}) \xrightarrow{(\tilde{i}_q)^{-1}} H_q(H, N)$) bằng $t^q$ (tương ứng $\theta_q$).

e) Cho $(g_1, \ldots, g_n)$ là một hệ đại diện của các lớp của G modulo H, và cho $x \in H^0(H, M)$. Bây giờ chứng minh rằng ta có $t^0(x) = \sum_{i=1}^n g_i x$. Mô tả $t^1$. f) Nếu đồng nhất các nhóm $H_1(G, \mathbf{Z})$ và $H_1(H, \mathbf{Z})$ với $G/(G, G)$ và $H/(H, H)$ tương ứng, đồng cấu $t_1$ được đồng nhất với một đồng cấu ($\text{transfer}$) $V : G/(G, G) \to H/(H, H)$. Nếu $\tilde{s} : H/G \to G$ là một tiết diện của ánh xạ chính tắc, bây giờ chứng minh rằng V thu được bằng cách chuyển qua thương từ ánh xạ $V_s : G \to H$ sao cho