Exercice 15, § 6

Algèbre, X, p. 191

Soient G un groupe et k un corps commutatif, que l’on munit des structures de $\mathbf{Z}^{(G)}$ -module et de $k^{(G)}$ -module déduites de l’action triviale de G. a) Montrer que le groupe $H^q(G, k)$ est isomorphe à $\mathrm{Ext}^q_{k^{(G)}}(k, k)$ pour tout $q \geqslant 0$ , donc admet une structure de k-espace vectoriel ; on note $h^q(G, k)$ sa dimension sur k.

b) On suppose que le groupe G admet une présentation (I, p. 86) définie par d générateurs et r relations. Démontrer les inégalités

d \geq h^1(G, k) \quad \text{et} \quad r \geq h^2(G, k)

(utiliser l'exercice 3, d), p. 179).

Solution

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