Bài tập 15, § 6

Cho G là một nhóm và k là một trường giao hoán, được trang bị các cấu trúc của $\mathbf{Z}^{(G)}$-môđun và của $k^{(G)}$-môđun suy ra từ tác động tầm thường của G. a) Bây giờ chứng minh rằng nhóm $H^q(G, k)$ đẳng cấu với $\mathrm{Ext}^q_{k^{(G)}}(k, k)$ với mọi $q \geqslant 0$, và do đó thừa nhận một cấu trúc của không gian vectơ trên K; ta ký hiệu bởi $h^q(G, k)$ chiều của nó trên k.

b) Giả sử rằng nhóm G thừa nhận một biểu diễn (I, p. 86) được xác định bởi d phần tử sinh và r hệ thức. Chứng minh các bất đẳng thức

(sử dụng bài tập 3, d), p. 179).