Exercice 16, § 6

Soit G un p-groupe (I, p. 72, déf. 9). On pose $d(G) = \dim_{\mathbf{F}_p} H^1(G, \mathbf{F}_p)$ et $r(G) = \dim_{\mathbf{F}_p} H^2(G, \mathbf{F}_p)$ (cf. exercice 15). a) Montrer que $d(G)$ est le nombre minimal de générateurs de G (prouver que $H^1(G, \mathbf{F}_p)$ est isomorphe au dual de $G/G^p D(G)$, et utiliser I, p. 140, exercice 32). b) Si Card (G) = $p^n$, montrer que l’on a $d(G) \leq n$ et $r(G) \leq \frac{1}{2} n(n + 1)$ (prouver par récurrence sur $n$ qu’il existe une présentation de G avec $n$ générateurs et $\frac{1}{2} n(n + 1)$ relations). Si $G = (\mathbf{Z}/p\mathbf{Z})^n$, montrer que l’on a $d(G) = n$ et $r(G) = \frac{1}{2} n(n + 1)$. c) Si G est non trivial, démontrer l’inégalité $r(G) > \frac{1}{4}(d(G))^2$ (« théorème de Golod-Chafarévitch » : utiliser l’exercice 15, p. 182, et l’exercice 22 de VIII, § 8). d) Démontrer que l’on a $r(G) - d(G) = \dim_{\mathbf{F}_p} (H^3(G, \mathbf{Z}) \otimes_{\mathbf{Z}} \mathbf{F}_p)$.