Bài tập 16, § 6

Cho G là một p-nhóm (I, p. 72, định nghĩa 9). Đặt $d(G) = \dim_{\mathbf{F}_p} H^1(G, \mathbf{F}_p)$ và $r(G) = \dim_{\mathbf{F}_p} H^2(G, \mathbf{F}_p)$ (xem bài tập 15). a) Chứng minh rằng $d(G)$ là số cực tiểu các phần tử sinh của G (chứng minh rằng $H^1(G, \mathbf{F}_p)$ là đẳng cấu với đối ngẫu của $G/G^p D(G)$, và sử dụng I, p. 140, bài tập 32). b) Nếu Card (G) = $p^n$, chứng minh rằng ta có $d(G) \leq n$ và $r(G) \leq \frac{1}{2} n(n + 1)$ (chứng minh bằng quy nạp theo $n$ rằng tồn tại một trình bày của G với $n$ phần tử sinh và $\frac{1}{2} n(n + 1)$ quan hệ). Nếu $G = (\mathbf{Z}/p\mathbf{Z})^n$, chứng minh rằng ta có $d(G) = n$ và $r(G) = \frac{1}{2} n(n + 1)$. c) Nếu G là không tầm thường, chứng minh bất đẳng thức $r(G) > \frac{1}{4}(d(G))^2$ (« định lý Golod-Chafarevich »: sử dụng bài tập 15, p. 182, và bài tập 22 của VIII, § 8). d) Chứng minh rằng ta có $r(G) - d(G) = \dim_{\mathbf{F}_p} (H^3(G, \mathbf{Z}) \otimes_{\mathbf{Z}} \mathbf{F}_p)$.