Exercice 17, § 6

Soit G un groupe fini. On note N l’élément $\sum_{g \in G} e_g$ de $\mathbf{Z}^{(G)}$. Pour tout $\mathbf{Z}^{(G)}$-module M, la multiplication par N définit par passage au quotient un homomorphisme $N_0 : H_0(G, M) \to H^0(G, M)$. On pose $\hat{H}^0(G, M) = \mathrm{Coker}\,(N_0)$, $\hat{H}^{-1}(G, M) = \mathrm{Ker}\,(N_0)$, $\hat{H}^q(G, M) = H^q(G, M)$ pour $q \geq 1$, et

a) Soit $\mathscr{E} : 0 \to M' \to M \to M'' \to 0$ une suite exacte de $\mathbf{Z}^{(G)}$-modules ; définir une suite exacte

b) Si M est projectif relativement à $\mathbf{Z}$, montrer que l’on a $\hat{H}^q(G, M) = 0$ pour tout $q \in \mathbf{Z}$ (cf. exercice 12). c) Soient H un sous-groupe de G, $i : H \to G$ l’injection canonique. Pour tout $\mathbf{Z}^{(G)}$-module M et tout entier rationnel q, on définit des homomorphismes $\hat{i}_M^q : \hat{H}^q(G, M) \to \hat{H}^q(H, M)$ et $\hat{i}_M^q : \hat{H}^q(H, M) \to \hat{H}^q(G, M)$ (notés simplement $\hat{i}^q$ et $\hat{i}^q$ s’il n’y a pas d’ambiguïté sur M) de la façon suivante : pour $q \geq 1$, on pose $\hat{i}^q = \hat{i}^q$ et $\hat{i}^q = t^q$ (exercices 10 et 14) ; pour $q \leq -2$, on pose $\hat{i}^q = \theta_{-q-1}$ et $\hat{i}^q = i_{-q-1}$ ; enfin, on définit $\hat{i}^0$ et $\hat{i}^0$ (resp. $\hat{i}^{-1}$ et $\hat{i}^{-1}$) par passage aux quotients (resp. aux sous-ensembles) à partir de $i^0$ et $t^0$ (resp. $t_0$ et $i_0$). Démontrer que l’on a $\hat{i}^q \circ \hat{i}^q = n.\mathrm{Id}$ pour tout $q \in \mathbf{Z}$, où n est l’indice de H dans G. En déduire que les groupes $\hat{H}^q(G, M)$ sont annulés par l’ordre de G (cf. exercice 6, p. 189). d) Avec les notations de b), montrer que l’on a $\hat{i}_{M'}^{q+1} \circ \partial^q(G, \mathscr{E}) = \partial^q(H, \mathscr{E}) \circ \hat{i}_{M''}^q$ et

pour tout $q \in \mathbf{Z}$. e) Soient p un nombre premier et H un p-sous-groupe de Sylow (I, p. 74) de G. Montrer que l’homomorphisme $\hat{i}^q : \hat{H}^q(G, M) \to \hat{H}^q(H, M)$ a pour noyau la somme des composants l-primaires du $\mathbf{Z}$-module $\hat{H}^q(G, M)$ pour $l \neq p$. En particulier, si pour tout nombre premier p, on choisit un p-sous-groupe de Sylow $H_p$ de G, l’application $\hat{H}^q(G, M) \to \prod_p \hat{H}^q(H_p, M)$ déduite des homomorphismes $\hat{i}^q$ est injective.