Bài tập 17, § 6

Cho G là một nhóm hữu hạn. Ta ký hiệu bởi N phần tử $\sum_{g \in G} e_g$ của $\mathbf{Z}^{(G)}$. Đối với mọi $\mathbf{Z}^{(G)}$-môđun M, phép nhân với N xác định, bằng cách chuyển qua môđun thương, một đồng cấu $N_0 : H_0(G, M) \to H^0(G, M)$. Ta đặt $\hat{H}^0(G, M) = \mathrm{Coker}\,(N_0)$, $\hat{H}^{-1}(G, M) = \mathrm{Ker}\,(N_0)$, $\hat{H}^q(G, M) = H^q(G, M)$ với $q \geq 1$, và

a) Cho $\mathscr{E} : 0 \to M' \to M \to M'' \to 0$ là một dãy khớp các $\mathbf{Z}^{(G)}$-môđun; hãy định nghĩa một dãy khớp

b) Nếu M là xạ ảnh tương đối với $\mathbf{Z}$, hãy chứng minh rằng $\hat{H}^q(G, M) = 0$ với mọi $q \in \mathbf{Z}$ (xem bài tập 12). c) Cho H là một nhóm con của G, $i : H \to G$ là đơn ánh chính tắc. Với mọi $\mathbf{Z}^{(G)}$-môđun M và mọi số nguyên hữu tỉ q, hãy định nghĩa các đồng cấu $\hat{i}_M^q : \hat{H}^q(G, M) \to \hat{H}^q(H, M)$ và $\hat{i}_M^q : \hat{H}^q(H, M) \to \hat{H}^q(G, M)$ (được ký hiệu đơn giản là $\hat{i}^q$ và $\hat{i}^q$ nếu không có sự mơ hồ về M) theo cách sau: với $q \geq 1$, đặt $\hat{i}^q = \hat{i}^q$ và $\hat{i}^q = t^q$ (các bài tập 10 và 14); với $q \leq -2$, đặt $\hat{i}^q = \theta_{-q-1}$ và $\hat{i}^q = i_{-q-1}$; cuối cùng, định nghĩa $\hat{i}^0$ và $\hat{i}^0$ (tương ứng $\hat{i}^{-1}$ và $\hat{i}^{-1}$) bằng cách chuyển qua các thương (tương ứng qua các tập con) từ $i^0$ và $t^0$ (tương ứng $t_0$ và $i_0$). Hãy chứng minh rằng $\hat{i}^q \circ \hat{i}^q = n.\mathrm{Id}$ với mọi $q \in \mathbf{Z}$, trong đó n là chỉ số của H trong G. Suy ra rằng các nhóm $\hat{H}^q(G, M)$ bị triệt tiêu bởi cấp của G (xem bài tập 6, p. 189). d) Với các ký hiệu của b), hãy chứng minh rằng ta có $\hat{i}_{M'}^{q+1} \circ \partial^q(G, \mathscr{E}) = \partial^q(H, \mathscr{E}) \circ \hat{i}_{M''}^q$ và

với mọi $q \in \mathbf{Z}$. e) Cho p là một số nguyên tố và H là một nhóm con p-Sylow (I, p. 74) của G. Hãy chứng minh rằng đồng cấu $\hat{i}^q : \hat{H}^q(G, M) \to \hat{H}^q(H, M)$ có hạt nhân là tổng của các thành phần l-nguyên sơ của $\mathbf{Z}$-môđun $\hat{H}^q(G, M)$ với $l \neq p$. Đặc biệt, nếu với mỗi số nguyên tố p, ta chọn một nhóm con p-Sylow $H_p$ của G, ánh xạ $\hat{H}^q(G, M) \to \prod_p \hat{H}^q(H_p, M)$ suy ra từ các đồng cấu $\hat{i}^q$ là đơn ánh.