Exercice 2, § 6

Soient $A, B$ deux $k$-algèbres (associatives et unifères) ; soient $M$ un $A$-module à gauche, $P$ un $B$-module à droite, $N$ un $(A, B)$-bimodule. On considère l’homomorphisme

tel que $\sigma(u \otimes m)(v) = u \circ v(m)$ pour $u \in \operatorname{Hom}_B(N, P), v \in \operatorname{Hom}_A(M, N), m \in M$ (II, p. 190, exercice 6). a) En remplaçant $M$ par une résolution projective, définir à l’aide de $\sigma$ un $k$-homomorphisme b) On suppose désormais que $A$ est noethérien à gauche et que le $A$-module $M$ est de type fini. Montrer que si le $B$-module $P$ est injectif, $\tau$ est un isomorphisme. c) Montrer qu’il existe deux suites spectrales $E$ et $'E$ (X, pp. 175-177, exercices 14 à 17), convergeant vers le même $k$-module gradué, telles que