Exercice 3, § 6

Soit $I$ un $k$-module injectif ; pour tout $A$-module $M$, on note $D(M)$ le $A$-module à droite $\operatorname{Hom}_k(M, I)$. Soient $M$ et $N$ deux $A$-modules à gauche, $P$ un $A$-module à droite. Démontrer que pour tout $p \geqslant 0$, les $k$-modules $\operatorname{Ext}_A^p(P, D(M))$ et $D(\operatorname{Tor}_p^A(P, M))$ sont isomorphes ; si $A$ est noethérien à gauche et si $M$ est un $A$-module de type fini, les $k$-modules $\operatorname{Tor}_p^A(D(N), M)$ et $D(\operatorname{Ext}_A^p(M, N))$ sont isomorphes (utiliser l’exercice 2, b) et l’exercice 6, b), p. 188).