Exercice 4, § 6

Pour tout groupe $G$, on note $\varepsilon_G : \mathbf{Z}^{(G)} \to \mathbf{Z}$ l’homomorphisme d’anneaux tel que $\varepsilon_G(e_g) = 1$ pour tout $g \in G$; on pose $I_G = \operatorname{Ker}(\varepsilon_G)$. a) Montrer que le groupe $H_1(G, \mathbf{Z})$ est isomorphe à $I_G/I_G^2$. b) Soit $(g_i)_{i \in I}$ une famille génératrice de $G$; montrer que les éléments $(e_{g_i} - 1)$, pour $i \in I$, engendrent l’idéal $I_G$. c) On suppose que la famille $(g_i)_{i \in I}$ est basique (I, p. 86). Montrer que $(e_{g_i} - 1)_{i \in I}$ est une base du $\mathbf{Z}^{(G)}$-module à gauche $I_G$.