Bài tập 4, § 6

Với mọi nhóm $G$, ta ký hiệu bởi $\varepsilon_G : \mathbf{Z}^{(G)} \to \mathbf{Z}$ đồng cấu vành sao cho $\varepsilon_G(e_g) = 1$ với mọi $g \in G$; ta đặt $I_G = \operatorname{Ker}(\varepsilon_G)$. a) Chứng minh rằng nhóm $H_1(G, \mathbf{Z})$ là đẳng cấu với $I_G/I_G^2$. b) Cho $(g_i)_{i \in I}$ là một họ sinh của $G$; chứng minh rằng các phần tử $(e_{g_i} - 1)$, với $i \in I$, sinh iđêan $I_G$. c) Giả sử rằng họ $(g_i)_{i \in I}$ là cơ bản (I, p. 86). Chứng minh rằng $(e_{g_i} - 1)_{i \in I}$ là một cơ sở của môđun trái $\mathbf{Z}^{(G)}$ $I_G$.