Exercice 6, § 6

Soient $G$ un groupe fini d’ordre $n$, $M$ un $\mathbf{Z}^{(G)}$-module. Montrer que pour tout $q \geqslant 1$, les $\mathbf{Z}$-modules $H^q(G, M)$ et $H_q(G, M)$ sont annulés par $n$ (considérer l’homotopie $h$ de $C(G, M)$ dans lui-même définie par

pour $f \in C^{q+1}(G, M)$ et $g, g_1, ..., g_q \in G$. Si $M$ est un $\mathbf{Z}$-module de type fini, les groupes $H^q(G, M)$ et $H_q(G, M)$ sont finis pour $q \geqslant 1$.