Bài tập 6, § 6

Cho $G$ một nhóm hữu hạn cấp $n$, $M$ một $\mathbf{Z}^{(G)}$-môđun. Bây giờ chứng minh rằng với mọi $q \geqslant 1$, các $\mathbf{Z}$-môđun $H^q(G, M)$ và $H_q(G, M)$ bị triệt tiêu bởi $n$ (xét đồng luân $h$ của $C(G, M)$ vào chính nó được xác định bởi

với $f \in C^{q+1}(G, M)$ và $g, g_1, ..., g_q \in G$. Nếu $M$ là một $\mathbf{Z}$-môđun sinh hữu hạn, các nhóm $H^q(G, M)$ và $H_q(G, M)$ là hữu hạn với $q \geqslant 1$.