Exercice 7, § 6

Soient $G$ un groupe cyclique d’ordre $n$, $M$ un $\mathbf Z^{(G)}$-module, $\sigma$ un générateur de $G$. On note $N$ la multiplication dans $M$ par l’élément $\displaystyle\sum_{g\in G}e_g$ de $\mathbf Z^{(G)}$. Montrer que le $\mathbf Z$-module $H^0(G,M)$ (resp. $H_0(G,M)$) est isomorphe à $\operatorname{Ker}(1-\sigma_M)$ (resp. $\operatorname{Coker}(1-\sigma_M)$); pour $q$ impair, les groupes $H^q(G,M)$ et $H_{q+1}(G,M)$ sont isomorphes à $\operatorname{Ker}N/\operatorname{Im}(1-\sigma_M)$; pour $q$ pair $\geq 2$, $H^q(G,M)$ et $H_{q-1}(G,M)$ sont isomorphes à $\operatorname{Ker}(1-\sigma_M)/\operatorname{Im}N$. (Utiliser l’exercice 1, p. 178.)