Bài tập 7, § 6

Cho $G$ là một nhóm cyclic có cấp $n$, $M$ là một $\mathbf Z^{(G)}$-môđun, $\sigma$ là một phần tử sinh của $G$. Ta ký hiệu $N$ là phép nhân trong $M$ bởi phần tử $\displaystyle\sum_{g\in G}e_g$ của $\mathbf Z^{(G)}$. Bây giờ chứng minh rằng $\mathbf Z$-môđun $H^0(G,M)$ (tương ứng $H_0(G,M)$) là đẳng cấu với $\operatorname{Ker}(1-\sigma_M)$ (tương ứng $\operatorname{Coker}(1-\sigma_M)$); với $q$ lẻ, các nhóm $H^q(G,M)$ và $H_{q+1}(G,M)$ là đẳng cấu với $\operatorname{Ker}N/\operatorname{Im}(1-\sigma_M)$; với $q$ chẵn $q\geq 2$, $H^q(G,M)$ và $H_{q-1}(G,M)$ là đẳng cấu với $\operatorname{Ker}(1-\sigma_M)/\operatorname{Im}N$. (Sử dụng bài tập 1, p. 178.)