Exercice 9, § 6

a) Soient $G$ un groupe, $M$ un $G$-module, $g$ un élément du centre de $G$ tel que l’endomorphisme $m\mapsto gm-m$ de $M$ soit bijectif. Montrer que les groupes $H^p(G,M)$ et $H_p(G,M)$ sont nuls pour $p\geq 1$.

b) Soit $V$ un espace vectoriel sur un corps $k$, avec $\operatorname{Card}(k)\geq 3$. Démontrer que les groupes $H^p(\operatorname{GL}(V),V)$ et $H_p(\operatorname{GL}(V),V)$ sont nuls pour $p\geq 1$.