Exercice 11, § 7

On suppose que la bigèbre B admet une inversion i (cf. III, p. 198, exercice 4). Soient M et N des B-modules. Le k-module $M \otimes_k N$ (resp. $\mathrm{Hom}_k(M, N)$) a une structure naturelle de $B \otimes_k B$-module (resp. $B \otimes_k B^\circ$-module) ; on le munit de la structure de B-module déduit de l'homomorphisme c (resp. $(1_B \otimes i) \circ c$).

a) Montrer que l'homomorphisme $u$ (exercice 10) définit un homomorphisme gradué de degré zéro

b) Soit $0 \to M \to R_n \to ... \to R_1 \to k \to 0$ une suite exacte de B-modules, avec $R_i$ projectif $(1 \leq i \leq n)$; soit $\theta$ sa classe dans $\mathrm{Ext}_B^n(k, M) = H^n(B, \gamma; M)$. Montrer que pour $p \geq 1$, l'application $x \mapsto x \cup \theta$ est un k-isomorphisme de $H^p(B, \gamma; \mathrm{Hom}_k(M, N))$ sur $H^{p+n}(B, \gamma; N)$.

(Démontrer que cette application se factorise en

c) Soient G un groupe, N un $\mathbf{Z}^{(G)}$-module. Soit F un groupe libre, $p : F \to G$ un homomorphisme surjectif, $R = \mathrm{Ker}\,(p)$, $\overline{R} = R/(R, R)$, $\overline{F} = F/(R, R)$. L’extension $\overline{R} \to \overline{F} \to G$ définit une classe $\varepsilon \in H^2(G, \overline{R})$; démontrer que l’application $x \mapsto x \cup \varepsilon$ de $H^p(G, \mathrm{Hom}_\mathbf{Z}(\overline{R}, N))$ dans $H^{p+2}(G, N)$ est un isomorphisme pour $p \geqslant 1$ (utiliser l’exercice 3, d), p. 179).