Bài tập 11, § 7

Giả sử bigebra $B$ nhận một phép nghịch đảo $i$ (xem III, p. 198, bài tập 4). Cho $M$ và $N$ là các $B$-môđun. $k$-môđun $M \otimes_k N$ (resp. $\mathrm{Hom}_k(M, N)$) có một cấu trúc tự nhiên của $B \otimes_k B$-môđun (resp. $B \otimes_k B^\circ$-môđun); nó được trang bị cấu trúc của $B$-môđun suy ra từ đồng cấu c (resp. $(1_B \otimes i) \circ c$).

a) Bây giờ chứng minh rằng đồng cấu $u$ (bài tập 10) xác định một đồng cấu phân bậc bậc không

b) Cho $0 \to M \to R_n \to ... \to R_1 \to k \to 0$ là một dãy khớp các $B$-môđun, với $R_i$ xạ ảnh $(1 \leq i \leq n)$; gọi $\theta$ là lớp của nó trong $\mathrm{Ext}_B^n(k, M) = H^n(B, \gamma; M)$. Bây giờ chứng minh rằng, với $p \geq 1$, ánh xạ $x \mapsto x \cup \theta$ là một $k$-đẳng cấu từ $H^p(B, \gamma; \mathrm{Hom}_k(M, N))$ lên $H^{p+n}(B, \gamma; N)$.

(Chứng minh rằng ánh xạ này phân tích qua

c) Cho $G$ là một nhóm, $N$ là một $\mathbf{Z}^{(G)}$-môđun. Cho $F$ là một nhóm tự do, $p : F \to G$ là một đồng cấu toàn ánh, $R = \mathrm{Ker}\,(p)$, $\overline{R} = R/(R, R)$, $\overline{F} = F/(R, R)$. Mở rộng $\overline{R} \to \overline{F} \to G$ xác định một lớp $\varepsilon \in H^2(G, \overline{R})$; chứng minh rằng ánh xạ $x \mapsto x \cup \varepsilon$ từ $H^p(G, \mathrm{Hom}_\mathbf{Z}(\overline{R}, N))$ vào $H^{p+2}(G, N)$ là một đẳng cấu với $p \geqslant 1$ (dùng bài tập 3, d), p. 179).