Exercice 3, § 7

Soient $G$ un groupe, $A$ l’algèbre $\mathbf{Z}^{(G)}$, $j:G\to A$ l’injection canonique. On munit $A$ de l’augmentation $\pi:A\to\mathbf{Z}$ définie par $\pi(e_g)=1$ pour tout $g\in G$. Soit $M$ un $A$-module à gauche.

a) Soit $0\to M_{(\pi)}\to B\xrightarrow{p}A\to0$ une extension de $A$ par le $(A,A)$-bimodule $M_{(\pi)}$ (X, p. 196, exercice 27). On note $\Gamma$ le sous-ensemble de $B$ formé des éléments $b$ de $B$ tels que $p(b)\in j(G)$. Montrer que $\Gamma$, muni de la multiplication induite par celle de $B$, est un groupe, extension de $G$ par le $G$-module $M$.

b) La construction précédente définit une application de $Ex_{\mathbf Z}(A,M_{(\pi)})$ dans $Ex(G,M)$ (VIII, § 13). Montrer que le diagramme

est commutatif.