Bài tập 3, § 7

Cho $G$ là một nhóm, $A$ là đại số $\mathbf{Z}^{(G)}$, $j:G\to A$ là đơn ánh chính tắc. Ta trang bị cho $A$ ánh xạ tăng trưởng $\pi:A\to\mathbf{Z}$ được xác định bởi $\pi(e_g)=1$ với mọi $g\in G$. Cho $M$ là một $A$-môđun trái.

a) Cho $0\to M_{(\pi)}\to B\xrightarrow{p}A\to0$ là một mở rộng của $A$ bởi song môđun $(A,A)$ $M_{(\pi)}$ (X, p. 196, bài tập 27). Ta ký hiệu $\Gamma$ là tập con của $B$ tạo bởi các phần tử $b$ của $B$ sao cho $p(b)\in j(G)$. Chứng minh rằng $\Gamma$, được trang bị phép nhân cảm sinh bởi phép nhân của $B$, là một nhóm, mở rộng của $G$ bởi $G$-môđun $M$.

b) Phép dựng trên xác định một ánh xạ từ $Ex_{\mathbf Z}(A,M_{(\pi)})$ vào $Ex(G,M)$ (VIII, § 13). Chứng minh rằng biểu đồ

là giao hoán.