Exercice 6, § 7

Soient M un A-module à droite, N un A-module à gauche. Pour $n \geqslant 0$, on note $\mathscr{T}_n(M, N)$ l’ensemble des triplets $(P, p, q)$, où P est un complexe de A-modules libres de type fini, tel que $P_r = 0$ pour $r < 0$ et $r > n$, et où $p : P \to N$ et $q : P^* \to M(n)$ sont des morphismes de A-complexes (on désigne par $P^*$ le complexe $\mathrm{Hom}_{\mathbf{A}}(P, A)$). On dit que deux éléments $(P, p, q)$ et $(P', p', q')$ de $\mathscr{T}_n(M, N)$ sont liés s’il existe un morphisme $u : P \to P'$ tel que $p = p' \circ u$ et $q' = q \circ 'u$; on note $T_n(M, N)$ le quotient de $\mathscr{T}_n(M, N)$ par la relation d’équivalence la plus fine pour laquelle deux éléments liés sont équivalents (cf. II, p. 52, exercice 9). a) Montrer que $T_n(M, N)$ s’identifie à $\mathrm{Tor}_n^A(M, N)$. b) Soit $(\mathscr{E}) : 0 \to M' \xrightarrow{i} M \xrightarrow{\pi} M'' \to 0$ une suite exacte de A-modules à droite. Décrire l’homomorphisme de liaison $\partial : T_n(M'', N) \to T_{n-1}(M', N)$ déduit de $\partial(\mathscr{E}, N)$ à l’aide des identifications précédentes. (Si $(P, p, q) \in \mathscr{T}_n(M'', N)$, montrer que l’on a $\partial(P, p, q) = (\overline{P}, \overline{p}, \overline{q})$, où $\overline{P}$ est le complexe obtenu en remplaçant $P_n$ par 0 dans P, $\overline{p}$ est le morphisme déduit de $p$ et $(\overline{q})^{n-1} : P_{n-1}^* \to M'$ est égal à $u^{n-1}$, $u$ étant un morphisme de $P^*$ dans le complexe (Con (i)) (n) tel que $\pi \circ u^n = q^n$.)