Bài tập 6, § 7

Cho M là một A-môđun phải, N là một A-môđun trái. Với $n \geqslant 0$, ký hiệu $\mathscr{T}_n(M, N)$ là tập hợp các bộ ba $(P, p, q)$, trong đó P là một phức các A-môđun tự do sinh hữu hạn, sao cho $P_r = 0$ với $r < 0$ và $r > n$, và trong đó $p : P \to N$ và $q : P^* \to M(n)$ là các cấu xạ của các A-phức (ta ký hiệu bởi $P^*$ phức $\mathrm{Hom}_{\mathbf{A}}(P, A)$). Ta nói rằng hai phần tử $(P, p, q)$ và $(P', p', q')$ của $\mathscr{T}_n(M, N)$ được liên kết nếu tồn tại một cấu xạ $u : P \to P'$ sao cho $p = p' \circ u$ và $q' = q \circ 'u$; ta ký hiệu bởi $T_n(M, N)$ thương của $\mathscr{T}_n(M, N)$ theo quan hệ tương đương mịn nhất mà đối với nó hai phần tử được liên kết là tương đương (xem II, p. 52, bài tập 9). a) Bây giờ chứng minh rằng $T_n(M, N)$ đồng nhất với $\mathrm{Tor}_n^A(M, N)$. b) Cho $(\mathscr{E}) : 0 \to M' \xrightarrow{i} M \xrightarrow{\pi} M'' \to 0$ là một dãy khớp các A-môđun phải. Mô tả đồng cấu nối $\partial : T_n(M'', N) \to T_{n-1}(M', N)$ suy ra từ $\partial(\mathscr{E}, N)$ bằng các sự đồng nhất trước đó. (Nếu $(P, p, q) \in \mathscr{T}_n(M'', N)$, bây giờ chứng minh rằng ta có $\partial(P, p, q) = (\overline{P}, \overline{p}, \overline{q})$, trong đó $\overline{P}$ là phức thu được bằng cách thay thế $P_n$ bởi 0 trong P, $\overline{p}$ là cấu xạ suy ra từ $p$ và $(\overline{q})^{n-1} : P_{n-1}^* \to M'$ bằng $u^{n-1}$, u là một cấu xạ từ $P^*$ vào phức (Con (i)) (n) sao cho $\pi \circ u^n = q^n$.)