Exercice 7, § 7

Algèbre, X, p. 199

Bourbaki marks this one as harder than the rest.

Soient $A'$ une $k$ -algèbre (associative et unifière) et $B = A \otimes_k A'$ . a) Soient M un A-module à gauche, Q un A-module à droite, $M'$ un $A'$ -module à gauche, Q’ un $A'$ -module à droite. Soit $(P, p)$ (resp. $(P', p')$ , resp. $(R, r)$ ) une résolution projective du A-module M (resp. du $A'$ -module $M'$ , resp. du B-module $M \otimes_k M'$ ). Montrer qu’il existe un morphisme de B-complexes

u : P \otimes_k P' \to R ,

unique à homotopie près, tel que $r\circ u=p\otimes p'$ . Définir à l’aide de $u$ un $k$ -homomorphisme gradué de degré zéro

\mathrm{T}:\operatorname{Tor}^{A}(Q,M)\otimes_k\operatorname{Tor}^{A'}(Q',M')\longrightarrow\operatorname{Tor}^{B}(Q\otimes_k Q',M\otimes_k M').

Montrer que $\mathrm{T}$ ne dépend pas du choix des résolutions $P,P',R$ et du morphisme $u$ . Si $a\in\operatorname{Tor}^{A}(Q,M)$ et $a'\in\operatorname{Tor}^{A'}(Q',M')$ , on pose $\mathrm{T}(a\otimes a')=a\mathrm{T}a'$ .

b) On suppose de plus que les $k$ -modules A et A’ sont projectifs et que l’on a $\operatorname{Tor}^{k}_{n}(M,M')=0$ pour $n>0$ . Montrer que $P\otimes_k P'$ est alors une résolution projective du B-module $M\otimes_k M'$ ; en déduire, pour tout A-module N et tout A’-module N’, un $k$ -homomorphisme gradué de degré zéro

\vee:\operatorname{Ext}_{A}(M,N)\otimes_k\operatorname{Ext}_{A'}(M',N')\longrightarrow\operatorname{Ext}_{B}(M\otimes_k M',N\otimes_k N').

Montrer que $\vee$ est indépendant du choix des résolutions $P$ et $P'$ . Si $b\in\operatorname{Ext}_{A}(M,N)$ et $b'\in\operatorname{Ext}_{A'}(M',N')$ , on note $\vee(b\otimes b')=b\vee b'$ .

c) Soient A’’ une troisième $k$ -algèbre (associative et unifère), M’’ et N’’ des A’’-modules à gauche, Q’’ un A’’-module à droite. On identifie les $k$ -algèbres $A\otimes_k(A'\otimes_k A'')$ et $(A\otimes_k A')\otimes_k A''$ , ainsi que les $k$ -modules $M\otimes_k(M'\otimes_k M'')$ et $(M\otimes_k M')\otimes_k M''$ , $N\otimes_k(N'\otimes_k N'')$ et $(N\otimes_k N')\otimes_k N''$ , $Q\otimes_k(Q'\otimes_k Q'')$ et $(Q\otimes_k Q')\otimes_k Q''$ . Démontrer les formules

a\mathrm{T}(a'\mathrm{T}a'')=(a\mathrm{T}a')\mathrm{T}a'' \qquad\text{pour }a\in\operatorname{Tor}^{A}(Q,M),\quad a'\in\operatorname{Tor}^{A'}(Q',M'),

a''\in\operatorname{Tor}^{A''}(Q'',M'')

b\vee(b'\vee b'')=(b\vee b')\vee b'' \qquad\text{pour }b\in\operatorname{Ext}_{A}(M,N),\quad b'\in\operatorname{Ext}_{A'}(M',N'),

b''\in\operatorname{Ext}_{A''}(M'',N'').

d) Soient

\sigma:\operatorname{Tor}^{A\otimes_k A'}(Q\otimes_k Q',M\otimes_k M') \longrightarrow \operatorname{Tor}^{A'\otimes_k A}(Q'\otimes_k Q,M'\otimes_k M)

\tau:\operatorname{Ext}_{A\otimes_k A'}(M\otimes_k M',N\otimes_k N') \longrightarrow \operatorname{Ext}_{A'\otimes_k A}(M'\otimes_k M,N'\otimes_k N)

les isomorphismes déduits des isomorphismes de commutation

A\otimes_k A'\longrightarrow A'\otimes_k A,\quad M\otimes_k M'\longrightarrow M'\otimes_k M,\quad N\otimes_k N'\longrightarrow N'\otimes_k N,\quad Q\otimes_k Q'\longrightarrow Q'\otimes_k Q.

Démontrer les formules

\sigma(a\mathrm{T}a')=(-1)^{pq}a'\mathrm{T}a \qquad\text{pour }a\in\operatorname{Tor}^{A}_{p}(Q,M),\quad a'\in\operatorname{Tor}^{A'}_{q}(Q',M')

\tau(b\vee b')=(-1)^{pq}b'\vee b \qquad\text{pour }b\in\operatorname{Ext}^{p}_{A}(M,N),\quad b'\in\operatorname{Ext}^{q}_{A'}(M',N').

e) Soit $(\mathscr{E}):0\to M_2\to M_1\to M_0\to0$ une suite exacte de A-modules, telle que la suite

(\mathscr{E}\otimes M'):0\to M_2\otimes_k M'\to M_1\otimes_k M'\to M_0\otimes_k M'\to0

soit exacte. On note $\delta$ (resp. $\Delta$ ) l’homomorphisme de liaison $\partial(Q,\mathscr{E})$ (resp. $\partial(Q\otimes_k Q',\mathscr{E}\otimes M')$ . Montrer que l’on a $(\delta a)\mathrm{T}a'=\Delta(a\mathrm{T}a')$ pour $a\in\operatorname{Tor}^{A}(Q,M_0)$ , $a'\in\operatorname{Tor}^{A'}(Q',M')$ . Démontrer les formules analogues pour le produit $\vee$ .

f) Si $k$ est un corps, montrer que $\mathrm{T}$ est un isomorphisme de $k$ -modules gradués; il en est de même de $\vee$ si de plus A et A’ sont noethériens à gauche et si le A-module M et le A’-module M’ sont de type fini.

g) Si on identifie les modules $\operatorname{Tor}^{A}_{n}(Q,M)$ aux ensembles $T_n(Q,M)$ définis dans l’exercice 6, démontrer la formule

(P,p,q)\mathrm{T}(P',p',q')=(P\otimes_k P',p\otimes p',q\otimes q').

Solution

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