Bài tập 7, § 7

Cho $A'$ là một $k$-đại số (kết hợp và có đơn vị) và $B = A \otimes_k A'$. a) Cho M là một A-môđun trái, Q là một A-môđun phải, $M'$ là một $A'$-môđun trái, Q’ là một $A'$-môđun phải. Giả sử $(P, p)$ (tương ứng $(P', p')$, tương ứng $(R, r)$) là một giải xạ ảnh của A-môđun M (tương ứng của $A'$-môđun $M'$, tương ứng của B-môđun $M \otimes_k M'$). Chứng minh rằng tồn tại một cấu xạ của các B-phức

duy nhất sai khác một đồng luân, sao cho $r\circ u=p\otimes p'$. Định nghĩa, sử dụng $u$, một đồng cấu $k$ phân bậc bậc không

Chứng minh rằng $\mathrm{T}$ không phụ thuộc vào lựa chọn của các giải $P,P',R$ và của cấu xạ $u$. Nếu $a\in\operatorname{Tor}^{A}(Q,M)$ và $a'\in\operatorname{Tor}^{A'}(Q',M')$, đặt $\mathrm{T}(a\otimes a')=a\mathrm{T}a'$.

b) Giả sử thêm rằng các $k$-môđun A và A’ là xạ ảnh và rằng có $\operatorname{Tor}^{k}_{n}(M,M')=0$ với $n>0$. Chứng minh rằng khi đó $P\otimes_k P'$ là một giải xạ ảnh của B-môđun $M\otimes_k M'$; suy ra, với mọi A-môđun N và mọi A’-môđun N’, một đồng cấu $k$ phân bậc bậc không

Chứng minh rằng $\vee$ không phụ thuộc vào lựa chọn của các giải $P$ và $P'$. Nếu $b\in\operatorname{Ext}_{A}(M,N)$ và $b'\in\operatorname{Ext}_{A'}(M',N')$, ta chú ý rằng $\vee(b\otimes b')=b\vee b'$.

c) Cho A’’ là một $k$-đại số thứ ba (kết hợp và có đơn vị), M’’ và N’’ là các A’’-môđun trái, Q’’ là một A’’-môđun phải. Ta đồng nhất các $k$-đại số $A\otimes_k(A'\otimes_k A'')$ và $(A\otimes_k A')\otimes_k A''$, cũng như các $k$-môđun $M\otimes_k(M'\otimes_k M'')$ và $(M\otimes_k M')\otimes_k M''$, $N\otimes_k(N'\otimes_k N'')$ và $(N\otimes_k N')\otimes_k N''$, $Q\otimes_k(Q'\otimes_k Q'')$ và $(Q\otimes_k Q')\otimes_k Q''$. Chứng minh các công thức

d) Cho

và

là các đẳng cấu suy ra từ các đẳng cấu giao hoán

Chứng minh các công thức

e) Cho $(\mathscr{E}):0\to M_2\to M_1\to M_0\to0$ là một dãy khớp các A-môđun, sao cho dãy

chính xác. Ta ký hiệu $\delta$ (tương ứng $\Delta$) là đồng cấu liên kết $\partial(Q,\mathscr{E})$ (tương ứng $\partial(Q\otimes_k Q',\mathscr{E}\otimes M')$. Bây giờ chứng minh rằng ta có $(\delta a)\mathrm{T}a'=\Delta(a\mathrm{T}a')$ với $a\in\operatorname{Tor}^{A}(Q,M_0)$, $a'\in\operatorname{Tor}^{A'}(Q',M')$. Bài tập chứng minh các công thức tương tự cho tích $\vee$.

f) Nếu $k$ là một trường, chứng minh rằng $\mathrm{T}$ là một đẳng cấu của các môđun $k$ phân bậc; điều tương tự cũng đúng đối với $\vee$ nếu, ngoài ra, A và A’ là Noether trái và nếu A-môđun M và A’-môđun M’ có kiểu hữu hạn.

g) Nếu các môđun $\operatorname{Tor}^{A}_{n}(Q,M)$ được đồng nhất với các tập hợp $T_n(Q,M)$ được định nghĩa trong bài tập 6, chứng minh công thức