Exercice 8, § 7

Algèbre, X, p. 200

On garde les notations de l’exercice 7; on suppose que les $k$ -modules A et A’ sont projectifs.

a) On suppose que l’on a $\operatorname{Tor}^{k}_{i}(M,M')=0$ pour $i>0$ . Montrer que l’application $b\mapsto b\vee1_{M'}$ définit un $k$ -homomorphisme gradué de degré zéro de $\operatorname{Ext}_{A}(M,N)$ dans $\operatorname{Ext}_{B}(M\otimes_k M',N\otimes_k M')$ , qui induit en degré zéro l’homomorphisme canonique $b\mapsto b\otimes1_{M'}$ .

b) On suppose que le $k$ -module M’ est plat. Soit

0\longrightarrow N\longrightarrow R_n\longrightarrow\cdots\longrightarrow R_1\longrightarrow M\longrightarrow0

une suite exacte de A-modules, de classe $b\in\operatorname{Ext}^{n}_{A}(M,N)$ . Montrer que la suite exacte de B-modules

0\longrightarrow N\otimes_k M'\longrightarrow R_n\otimes_k M'\longrightarrow\cdots\longrightarrow R_1\otimes_k M'\longrightarrow M\otimes_k M'\longrightarrow0

a pour classe $b\vee1_{M'}$ dans $\operatorname{Ext}^{n}_{B}(M\otimes_k M',N\otimes_k N')$ .

c) On suppose que les k-modules M, M', N, N' sont plats. Montrer que l'on a :

b \vee b' = (b \vee 1_N) \circ (1_M \vee b') = (-1)^{pq} (1_N \vee b') \circ (b \vee 1_{M'})

pour $b \in \mathrm{Ext}_A^p(M, N), b' \in \mathrm{Ext}_A^q(M', N')$ .

Solution

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