Bài tập 8, § 7

Ta giữ các ký hiệu của Bài tập 7; ta giả sử rằng các $k$-môđun A và A’ là xạ ảnh.

(a) Ta giả sử rằng có $\operatorname{Tor}^{k}_{i}(M,M')=0$ với $i>0$. Bây giờ chứng minh rằng ánh xạ $b\mapsto b\vee1_{M'}$ xác định một đồng cấu $k$ phân bậc bậc không từ $\operatorname{Ext}_{A}(M,N)$ vào $\operatorname{Ext}_{B}(M\otimes_k M',N\otimes_k M')$, cảm sinh ở bậc không đồng cấu chính tắc $b\mapsto b\otimes1_{M'}$.

(b) Ta giả sử rằng $k$-môđun M’ là phẳng. Cho

là một dãy khớp các A-môđun, thuộc lớp $b\in\operatorname{Ext}^{n}_{A}(M,N)$. Bây giờ chứng minh rằng dãy khớp các B-môđun

có lớp là $b\vee1_{M'}$ trong $\operatorname{Ext}^{n}_{B}(M\otimes_k M',N\otimes_k N')$.

(c) Ta giả sử rằng các k-môđun M, M', N, N' là phẳng. Bây giờ chứng minh rằng ta có :

với $b \in \mathrm{Ext}_A^p(M, N), b' \in \mathrm{Ext}_A^q(M', N')$.