Exercice 9, § 7

Algèbre, X, p. 201

On suppose l'anneau A commutatif. Soient B, C deux A-algèbres associatives et unifères ; on note $m_B : B \otimes_A B \to B$ la multiplication de B, et $m_C$ la multiplication de C.

a) Montrer que l'homomorphisme

\mathrm{Tor}(m_B, m_C) \circ \top : \mathrm{Tor}^A(B, C) \otimes_A \mathrm{Tor}^A(B, C) \to \mathrm{Tor}^A(B, C)

(cf. exercice 7) définit sur $\mathrm{Tor}^A(B, C)$ une structure de A-algèbre graduée, associative et unifière.

b) Soient S une A-algèbre différentielle graduée et $p : S_0 \to B$ un homomorphisme de A-algèbres tels que $(S, p)$ soit une résolution libre de B (cf. X, p. 183, exercice 18). Montrer que l'isomorphisme

\psi(S, C) : \mathrm{Tor}^A(B, C) \to H(S \otimes_A C)

est un isomorphisme de A-algèbres si l'on munit $H(S \otimes_A C)$ de la structure d'algèbre déduite de la structure d'algèbre différentielle graduée de $S \otimes_A C$ (X, p. 183, exercice 18, b) et c)).

c) Si les A-algèbres B et C sont commutatives, démontrer que l'algèbre graduée $\mathrm{Tor}^A(B, C)$ est alternée (cf. X, p. 183, exercice 19).

Solution

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