Bài tập 9, § 7

Ta giả sử rằng vành A là giao hoán. Cho B, C là hai đại số trên A kết hợp có đơn vị; ta ký hiệu bởi $m_B : B \otimes_A B \to B$ phép nhân của B, và bởi $m_C$ phép nhân của C.

(a) Chứng minh rằng đồng cấu

(xem bài tập 7) xác định trên $\mathrm{Tor}^A(B, C)$ một cấu trúc đại số trên A phân bậc, kết hợp và có đơn vị.

(b) Cho S là một đại số vi phân phân bậc trên A và $p : S_0 \to B$ là một đồng cấu của các đại số trên A sao cho $(S, p)$ là một giải tự do của B (xem X, p. 183, bài tập 18). Chứng minh rằng đẳng cấu

là một đẳng cấu của các đại số trên A nếu $H(S \otimes_A C)$ được trang bị cấu trúc đại số suy ra từ cấu trúc đại số vi phân phân bậc của $S \otimes_A C$ (X, p. 183, bài tập 18, b) và c)).

(c) Nếu các đại số trên A B và C là giao hoán, chứng minh rằng đại số phân bậc $\mathrm{Tor}^A(B, C)$ là phản xứng (xem X, p. 183, bài tập 19).