Exercice 10, § 8

On suppose A intègre ; soit K son corps des fractions. On dit qu’un idéal a de A est inversible s’il existe des éléments $x_1, ..., x_n$ de K tels que $x_i a \subset A$ pour $1 \leq i \leq n$ et $\sum_{i} x_i a = A$. a) Montrer que tout idéal inversible est de type fini. b) Montrer qu’un idéal non nul de A est un A-module projectif si et seulement s’il est inversible. c) Soit a un idéal inversible de A, D un A-module divisible. Démontrer que $\mathrm{Ext}_A^i (A/a, D) = 0$ pour $i \geq 1$.