Exercice 11, § 8

a) On suppose l’anneau A intègre. Montrer que les conditions α) à δ) de l’exercice 9 sont encore équivalentes aux conditions suivantes : ε) Tout A-module de type fini sans torsion est projectif. ζ) Tout A-module sans torsion est plat. η) Tout sous-module d’un A-module plat est plat. (Utiliser l’exercice 13, p. 169.) Un anneau intègre vérifiant ces conditions est dit prüférien. b) Soit B un anneau intègre, réunion d’une famille filtrante croissante de sous-anneaux prüfériens. Montrer que B est prüférien. c) Montrer que l’anneau des entiers algébriques est prüférien.