Exercice 15, § 8

Soit $\sigma$ un automorphisme de l’anneau A. a) On note $A_\sigma[X]$ l’anneau défini en VIII, § 1, no 3. Montrer que

(L’inégalité $\mathrm{dh}(A_\sigma[X]) \geq \mathrm{dh}(A) + 1$ résulte de l’exercice 14, b); pour l’inégalité opposée, s’inspirer de la démonstration de X, p. 142, lemme 3, a).) b) On note $A_\sigma[[X]]$ l’anneau défini dans IV, § 4, exercice 8. Montrer que si A est nœthérien, on a $\mathrm{dh}(A_\sigma[[X]]) = \mathrm{dh}(A) + 1$ (utiliser l’exercice 14).