Exercice 5, § 8

Soit $(M_i)_{i \in E}$ une famille de A-modules. a) Montrer que $\mathrm{di}_A(\prod_{i \in E} M_i) = \sup \mathrm{di}_A(M_i)$. b) Si A est ncethérien, montrer que $\mathrm{di}_A(\bigoplus_{i \in E} M_i) = \sup \mathrm{di}_A(M_i)$. c) Si $\mathrm{di}_A(\bigoplus_{i \in E} M_i) = \sup \mathrm{di}_A(M_i)$ pour toute famille $(M_i)_{i \in E}$ de A-modules, A est ncethérien (utiliser l’exercice 21, p. 170).