Exercice 2, § 9

Soient $A$ un anneau, $u : L \to M$ un homomorphisme de $A$-modules.

a) On note $\varepsilon$ le facteur de commutation sur $\mathbf{Z}^2$ défini par $\varepsilon(\alpha, \beta) = \alpha_2 \beta_2$ pour $\alpha, \beta \in \mathbf{Z}^2, \alpha = (\alpha_1, \alpha_2), \beta = (\beta_1, \beta_2)$. Montrer qu’il existe une unique (A, $\varepsilon$)-dérivation (III, p. 118) $d$ de l’algèbre bigraduée $S(M) \otimes_A \Lambda(L)$, de degré $(1, -1)$, telle que l’on ait $d(1 \otimes x) = u(x) \otimes 1$ pour $x \in L$. Montrer que $d \circ d = 0$, de sorte que $S(M) \otimes_A \Lambda(L)$, muni de la graduation déduite de celle de $\Lambda(L)$ et de la différentielle $d$, définit un complexe $K(u)$.

b) Si $M = L$ et $u = 1_{d_L}$, montrer que $K(u)$ est égal au complexe défini au n° 3, p. 151.

c) Soit $B = S_A(M)$, et soit $\overline{u} : B \otimes_A L \to B$ le $B$-homomorphisme déduit de $u$. Montrer que $K(u)$ s’identifie canoniquement au complexe $K^B(\overline{u})$.

d) Soit $u' : L' \to M'$ un second $A$-homomorphisme. Montrer que les complexes $K(u \oplus u')$ et $K(u) \otimes_A K(u')$ sont isomorphes.

e) Soient $f : L \to L'$ et $g : M \to M'$ deux $A$-homomorphismes tels que $g \circ u = u' \circ f$. Montrer que l’homomorphisme $S(g) \otimes \Lambda(f)$ est un morphisme de complexes de $K(u)$ dans $K(u')$. En particulier, si $v : M \to P$ est un $A$-homomorphisme tel que $v \circ u = 0$, on obtient un morphisme de complexes $h : K(u) \to S_A(P)$.

f) On suppose que la suite $0 \to L \xrightarrow{u} M \xrightarrow{v} P \to 0$ est une suite exacte de $A$-modules plats. Montrer que $h$ est un isomorphisme (se ramener au cas où $L, M, P$ sont libres de type fini, et utiliser $d$). En déduire pour tout $n \geq 1$ une suite exacte