Bài tập 2, § 9

Cho $A$ là một vành, $u : L \to M$ là một đồng cấu của các $A$-môđun.

(a) Ta ký hiệu $\varepsilon$ là nhân tử giao hoán trên $\mathbf{Z}^2$ được xác định bởi $\varepsilon(\alpha, \beta) = \alpha_2 \beta_2$ với $\alpha, \beta \in \mathbf{Z}^2, \alpha = (\alpha_1, \alpha_2), \beta = (\beta_1, \beta_2)$. Bây giờ chứng minh rằng tồn tại duy nhất một (A, $\varepsilon$)-đạo hàm (III, p. 118) $d$ của đại số phân bậc kép $S(M) \otimes_A \Lambda(L)$, có bậc $(1, -1)$, sao cho có $d(1 \otimes x) = u(x) \otimes 1$ với $x \in L$. Bây giờ chứng minh rằng $d \circ d = 0$, sao cho $S(M) \otimes_A \Lambda(L)$, được trang bị phép phân bậc suy ra từ phép phân bậc của $\Lambda(L)$ và vi phân $d$, xác định một phức $K(u)$.

(b) Nếu $M = L$ và $u = 1_{d_L}$, bây giờ chứng minh rằng $K(u)$ bằng phức được xác định trong No. 3, p. 151.

(c) Cho $B = S_A(M)$, và cho $\overline{u} : B \otimes_A L \to B$ là đồng cấu $B$ suy ra từ $u$. Bây giờ chứng minh rằng $K(u)$ đồng nhất một cách chính tắc với phức $K^B(\overline{u})$.

(d) Cho $u' : L' \to M'$ là một đồng cấu $A$ thứ hai. Bây giờ chứng minh rằng các phức $K(u \oplus u')$ và $K(u) \otimes_A K(u')$ là đẳng cấu.

(e) Cho $f : L \to L'$ và $g : M \to M'$ là hai đồng cấu $A$ sao cho $g \circ u = u' \circ f$. Bây giờ chứng minh rằng đồng cấu $S(g) \otimes \Lambda(f)$ là một cấu xạ của các phức từ $K(u)$ vào $K(u')$. Đặc biệt, nếu $v : M \to P$ là một đồng cấu $A$ sao cho $v \circ u = 0$, ta thu được một cấu xạ của các phức $h : K(u) \to S_A(P)$.

(f) Giả sử rằng dãy $0 \to L \xrightarrow{u} M \xrightarrow{v} P \to 0$ là một dãy khớp của các $A$-môđun phẳng. Bây giờ chứng minh rằng $h$ là một đẳng cấu (rút gọn về trường hợp $L, M, P$ là tự do có kiểu hữu hạn, và sử dụng $d$). Suy ra với mọi $n \geq 1$ một dãy khớp