Exercice 5, § 9

Soient A un anneau, M un A-module, $x = (x_1, ..., x_n)$ une suite d’éléments de A, $k = (k_1, ..., k_n) \in \mathbf{N}^n$, $x^k = (x_1^{k_1}, ..., x_n^{k_n})$. Démontrer que la suite $x^k$ est M-régulière si et seulement si la suite x l’est ; dans ce cas le A-module $M/(x^k)$ M admet une suite de composition dont les quotients sont isomorphes à $M/(x)$ M. (Raisonner par récurrence sur n.)