Exercice 6, § 9

Soit A un anneau, $x = (x_1, ..., x_n)$ une suite d’éléments de A, x l’idéal $\sum_i x_i$ A. Soit

une suite exacte de A-modules. On suppose que la suite x est complètement sécante pour M et que les A-modules $M''/(x_1, M'' + ... + x_{i-1}, M'')$ sont séparés pour la topologie x-adique ($1 \leq i \leq n$). Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes : α) La suite x est complètement sécante pour M''. β) L’homomorphisme $\bigoplus_r (x^r M'/x^{r+1} M') \to \bigoplus_r (x^r M/x^{r+1} M)$ induit par i est injectif. γ) L’homomorphisme $M'/xM' \to M/xM$ induit par i est injectif.