Bài tập 6, § 9

Cho A là một vành, $x = (x_1, ..., x_n)$ là một dãy các phần tử của A, x là iđêan $\sum_i x_i$ A. Cho

là một dãy khớp các A-môđun. Ta giả sử rằng dãy x là hoàn toàn xuyên ngang đối với M và rằng các A-môđun $M''/(x_1, M'' + ... + x_{i-1}, M'')$ là tách được đối với tôpô x-adic ($1 \leq i \leq n$). Chứng minh rằng các điều kiện sau là tương đương: α) Dãy x là hoàn toàn xuyên ngang đối với M''. β) Đồng cấu $\bigoplus_r (x^r M'/x^{r+1} M') \to \bigoplus_r (x^r M/x^{r+1} M)$ cảm sinh bởi i là đơn ánh. γ) Đồng cấu $M'/xM' \to M/xM$ cảm sinh bởi i là đơn ánh.