Exercice 8, § 9

Soient A un anneau, M un A-module, $x' = (x_1, ..., x_p)$ et $x'' = (x_{p+1}, ..., x_n)$ deux suites d’éléments de A ; on note x la suite $(x_1, ..., x_n)$, et M’ le A-module $M/(x')$ M. a) Si x’ est complètement sécante pour M et x” complètement sécante pour M’, montrer que x est complètement sécante pour M. b) Si les suites x et x’ sont complètement sécantes pour M, montrer que la suite x” est complètement sécante pour M’. c) Donner un exemple d’une suite A-régulière (x, y) contenue dans le radical de A, telle que x soit complètement sécant pour A/yA, mais que y ne soit pas complètement sécant pour A.