Bài tập 8, § 9

Cho A là một vành, M là một A-môđun, $x' = (x_1, ..., x_p)$ và $x'' = (x_{p+1}, ..., x_n)$ là hai dãy các phần tử của A; ký hiệu x là dãy $(x_1, ..., x_n)$, và M’ là A-môđun $M/(x')$ M. (a) Nếu x’ là cắt hoàn toàn đối với M và x” là cắt hoàn toàn đối với M’, bây giờ chứng minh rằng x là cắt hoàn toàn đối với M. (b) Nếu các dãy x và x’ là cắt hoàn toàn đối với M, bây giờ chứng minh rằng dãy x” là cắt hoàn toàn đối với M’. (c) Hãy cho một ví dụ về một dãy A-chính quy (x, y) được chứa trong căn của A, sao cho x là cắt hoàn toàn đối với A/yA, nhưng y không là cắt hoàn toàn đối với A.