Exercice 2, § 5

Soient $E$ un ensemble, $f$ une application de $\mathfrak{P}(E)$ dans lui-même, telle que la relation $X \subset Y$ entraîne $f(X) \subset f(Y)$. Soit $V$ l’intersection des ensembles $Z \subset E$ tels que $f(Z) \subset Z$, et soit $W$ la réunion des ensembles $Z \subset E$ tels que $Z \subset f(Z)$. Montrer que $f(V) = V$ et $f(W) = W$, et que pour tout ensemble $Z \subset E$ tel que $f(Z) = Z$, on a $V \subset Z \subset W$.