Exercice 2, § 1

a) Soient E un ensemble préordonné, S$\{x, y\}$ une relation d’équivalence dans E. On note R$\{X, Y\}$ la relation

« $X \in E/S$ et $Y \in E/S$ et pour tout $x \in X$, il existe $y \in Y$ tel que $x \leq y$ ».

Montrer que R est une relation de préordre dans E/S, dite quotient de $x \leq y$ par S ; E/S, muni de cette relation de préordre, est appelé (par abus de langage ; cf. IV, p. 21) l’ensemble préordonné quotient de E par S.

b) Soit $\varphi$ l’application canonique de E sur E/S. Montrer que toute application g de l’ensemble préordonné quotient E/S dans un ensemble préordonné F telle que $g \circ \varphi$ soit croissante, est une application croissante de E/S dans F. Pour que $\varphi$ soit croissante, il faut et il suffit que S satisfasse à la condition suivante: (C) Les relations $x \leq y$ et $x \equiv x'$ (mod. S) dans E entraînent qu’il existe $y' \in E$ tel que $y \equiv y'$ (mod. S) et $x' \leq y'$.

Lorsqu’il en est ainsi, on dit que la relation d’équivalence S est faiblement compatible (en x et y) avec la relation de préordre $x \leq y$. Toute relation d’équivalence S compatible (en x) avec la relation de préordre $x \leq y$ (II, p. 42) est a fortiori faiblement compatible (en x et y) avec cette relation.

c) Soient $E_1, E_2$ deux ensembles préordonnés. Montrer que si $S_1$ est la relation d’équivalence $pr_1 z = pr_1 z'$ dans $E_1 \times E_2$, $S_1$ est faiblement compatible en z et t avec la relation de préordre produit $z \leq t$ sur $E_1 \times E_2$ (mais en général elle n’est pas compatible avec cette relation ni en z ni en t) ; en outre, si $\varphi_1$ est l’application canonique de $E_1 \times E_2$ sur $(E_1 \times E_2)/S_1$, et si $pr_1 = f_1 \circ \varphi_1$ est la décomposition canonique de pr_1 pour la relation d’équivalence $S_1$, montrer que $f_1$ est un isomorphisme de $(E_1 \times E_2)/S_1$ sur $E_1$.

d) Sous les hypothèses de a), on suppose que E soit un ensemble ordonné, et que la condition suivante soit vérifiée: (C') Les relations $x \leq y \leq z$ et $x \equiv z$ (mod. S) dans E impliquent $x \equiv y$ (mod. S). Montrer alors que R$\{X, Y\}$ est une relation d’ordre entre X et Y dans E/S.

e) Donner un exemple d’un ensemble totalement ordonné E ayant 4 éléments et d’une relation d’équivalence S dans E telle que ni la condition (C) ni la condition (C’) ne soient vérifiées, bien que E/S soit un ensemble ordonné.

f) Soient E un ensemble ordonné, f une application croissante de E dans un ensemble ordonné F, et S$\{x, y\}$ la relation d’équivalence $f(x) = f(y)$ dans E. La condition (C’) est alors vérifiée. Pour que la condition (C) le soit, il faut et il suffit que les relations $x \leq y$ et $f(x) = f(x')$ entraînent qu’il existe $y' \in E$ tel que $x' \leq y'$ et $f(y) = f(y')$. Soit $f = g \circ \varphi$ la décomposition canonique de f ; pour que g soit un isomorphisme de E/S sur $f(E)$, il faut et il suffit que la condition précédente soit vérifiée et en outre que la relation $f(x) \leq f(y)$ entraîne qu’il existe $x', y'$ tels que $f(x) = f(x'), f(y) = f(y')$ et $x' \leq y'$.