Bài tập 2, § 1

(a) Cho E là một tập hợp tiền thứ tự và gọi $S\{x, y\}$ là một quan hệ tương đương trên E. Gọi $R\{X, Y\}$ là quan hệ "`$X \in E/S$ và $Y \in E/S$ và với mỗi $x \in X$ tồn tại $y \in Y$ sao cho $x \leqslant y$`". Hãy chỉ ra rằng R là một quan hệ tiền thứ tự trên E/S, được gọi là thương theo S của quan hệ $x \leqslant y$. Tập thương E/S, được trang bị quan hệ tiền thứ tự này, được gọi (do lạm dụng ngôn ngữ; cf. Chương IV, § 2, no. 6) là thương theo S của tập hợp tiền thứ tự E.

(b) Gọi $\varphi$ là ánh xạ chính tắc từ E lên E/S. Hãy chỉ ra rằng nếu $g$ là một ánh xạ từ tập hợp tiền thứ tự thương E/S vào một tập hợp tiền thứ tự F sao cho $g \circ \varphi$ là một ánh xạ tăng, thì $g$ là một ánh xạ tăng. Ánh xạ $\varphi$ là tăng khi và chỉ khi S thỏa mãn điều kiện sau :

(C) Các quan hệ $x \leqslant y$ và $x \equiv x' \pmod{S}$ trong E suy ra rằng tồn tại $y' \in E$ sao cho $y \equiv y' \pmod{S}$ và $x' \leqslant y'$.

Nếu điều kiện này được thỏa mãn, quan hệ tương đương S được gọi là yếu tương thích (theo $x$ và $y$) với quan hệ tiền thứ tự $x \leqslant y$. Mọi quan hệ tương đương S tương thích (theo $x$) với quan hệ tiền thứ tự $x \leqslant y$ (Chương II, § 6, no. 3) đều a fortiori yếu tương thích (theo $x$ và $y$) với quan hệ này.

(c) Cho $E_1$ và $E_2$ là hai tập hợp có quan hệ tiền thứ tự. Hãy chứng minh rằng nếu $S_1$ là quan hệ tương đương $\mathrm{pr}_1 z = \mathrm{pr}_1 z'$ trên $E_1 \times E_2$, thì $S_1$ là tương thích yếu theo $z$ và $t$ với quan hệ tiền thứ tự tích $z \leqslant t$ trên $\mathrm{E}_1 \times \mathrm{E}_2$ (nhưng nói chung không tương thích với quan hệ này theo $z$ hoặc $t$ một cách riêng rẽ); hơn nữa, nếu $\varphi_1$ là ánh xạ chính tắc của $\mathrm{E}_1 \times \mathrm{E}_2$ lên $(\mathrm{E}_1 \times \mathrm{E}_2)/\mathrm{S}_1$, và nếu $\mathrm{pr}_1 = f_1 \circ \varphi_1$ là phân tích chính tắc của $\mathrm{pr}_1$ đối với quan hệ tương đương $\mathrm{S}_1$, thì $f_1$ là một đẳng cấu của $(\mathrm{E}_1 \times \mathrm{E}_2)/\mathrm{S}_1$ lên $\mathrm{E}_1$.

(d) Với giả thiết của (a), giả sử rằng E là một tập có thứ tự và điều kiện sau đây được thỏa mãn :

(C′) Các quan hệ $x \leqslant y \leqslant z$ và $x \equiv z$ (mod S) trong E suy ra $x \equiv y$ (mod S).

Chứng minh rằng $\mathrm{R} \{ \mathrm{X}, \mathrm{Y} \}$ khi đó là một quan hệ thứ tự giữa X và Y trên E/S.

(e) Hãy cho một ví dụ về một tập E được sắp thứ tự toàn phần có bốn phần tử và một quan hệ tương đương S trên E sao cho không điều kiện nào trong hai điều kiện (C) và (C′) được thỏa mãn, nhưng E/S là một tập có thứ tự.

(f) Cho E là một tập hợp có thứ tự, cho $f$ là một ánh xạ tăng từ E vào một tập hợp có thứ tự F, và cho $\mathrm{S} \{ x, y \}$ là quan hệ tương đương $f(x) = f(y)$ trên E. Khi đó điều kiện (C′) được thỏa mãn. Hơn nữa, điều kiện (C) được thỏa mãn khi và chỉ khi các quan hệ $x \leqslant y$ và $f(x) = f(x')$ kéo theo rằng tồn tại $y' \in \mathrm{E}$ sao cho $x' \leqslant y'$ và $f(y) = f(y')$. Gọi $f = g \circ \varphi$ là phân tích chính tắc của $f$. Khi đó $g$ là một đẳng cấu của E/S lên $f(\mathrm{E})$ khi và chỉ khi điều kiện này được thỏa mãn và, thêm vào đó, quan hệ $f(x) \leqslant f(y)$ kéo theo rằng tồn tại $x', y'$ sao cho $f(x) = f(x')$, $f(y) = f(y')$, và $x' \leqslant y'$.