Exercice 17, § 2

Étant donné un ordinal $\alpha_0$, on dit qu'un terme $f(\xi)$ est un symbole fonctionnel ordinal (par rapport à $\xi$) défini pour $\xi \geq \alpha_0$ si la relation « $\xi$ est un ordinal et $\xi \geq \alpha_0$ » entraîne la relation « $f(\xi)$ est un ordinal »; $f(\xi)$ est dit normal si la relation $\alpha_0 \leq \xi < \eta$ entraîne $f(\xi) < f(\eta)$ et si, pour toute famille $(\xi_t)_{t \in I}$ d'ordinaux $\geq \alpha_0$, on a $\sup_{t \in I} f(\xi_t) = f(\sup_{t \in I} \xi_t)$ (cf. III, p. 77, exerc. 14 d)). a) Montrer que pour tout ordinal $\alpha > 0$, $\alpha + \xi$ et $\alpha \xi$ sont des symboles fonctionnels normaux définis pour $\xi \geq 0$ (utiliser l'exerc. 15 f)). b) Soit $w(\xi)$ un symbole fonctionnel ordinal défini pour $\xi \geq \alpha_0$, tel que $w(\xi) \geq \xi$ et que $\alpha_0 \leq \xi < \eta$ entraîne $w(\xi) < w(\eta)$. Soit d'autre part $g(\xi, \eta)$ un terme tel que la relation « $\xi$ et $\eta$ sont des ordinaux $\geq \alpha_0$ » entraîne la relation « $g(\xi, \eta)$ est un ordinal tel que $g(\xi, \eta) > \xi$ ». Définir un terme $f(\xi, \eta)$ ayant les deux propriétés suivantes: 1° pour tout ordinal $\xi \geq \alpha_0$, $f(\xi, 1) = w(\xi)$; 2° pour tout ordinal $\xi \geq \alpha_0$ et tout ordinal $\eta > 1$, $f(\xi, \eta) = \sup_{0 < \zeta < \eta} g(f(\xi, \zeta), \xi)$ (utiliser le critère C60 (III, p. 18)). Montrer que si $f_1(\xi, \eta)$ est un autre terme ayant ces propriétés, on a $f(\xi, \eta) = f_1(\xi, \eta)$ pour $\xi \geq \alpha_0$ et $\eta \geq 1$. Prouver que pour tout ordinal $\xi \geq \alpha_0$, $f(\xi, \eta)$ est un symbole fonctionnel normal par rapport à $\eta$ (défini pour $\eta \geq 1$). Montrer que l'on a $f(\xi, \eta) \geq \xi$ pour $\eta \geq 1$ et $\xi \geq \alpha_0$, et $f(\xi, \eta) \geq \eta$ pour $\xi \geq \sup(\alpha_0, 1)$ et $\eta \geq 1$. En outre, pour tout couple $(\alpha, \beta)$ d'ordinaux tels que $\alpha > 0, \alpha \geq \alpha_0$ et $\beta \geq w(\alpha)$, il existe un ordinal $\xi$ et un seul tel que $f(\alpha, \xi) \leq \beta < f(\alpha, \xi + 1)$, et on a $\xi \leq \beta$. c) Si on prend $\alpha_0 = 0, w(\xi) = \xi + 1, g(\xi, \eta) = \xi + 1$, on a $f(\xi, \eta) = \xi + \eta$. Si on prend $\alpha_0 = 1, w(\xi) = \xi, g(\xi, \eta) = \xi + \eta$, on a $f(\xi, \eta) = \xi \eta$. d) Montrer que, si les relations $\alpha_0 \leq \xi \leq \xi', \alpha_0 \leq \eta \leq \eta'$ entraînent $g(\xi, \eta) \leq g(\xi', \eta')$, les relations $\alpha_0 \leq \xi \leq \xi', 1 \leq \eta \leq \eta'$ entraînent $f(\xi, \eta) \leq f(\xi', \eta')$. Si les relations $\alpha_0 \leq \xi \leq \xi'$ et $\alpha_0 \leq \eta < \eta'$ entraînent $g(\xi, \eta) < g(\xi, \eta')$ et $g(\xi, \eta) \leq g(\xi', \eta)$, alors les relations $\alpha_0 \leq \xi < \xi'$ et $\eta \geq 0$ entraînent $f(\xi, \eta + 1) < f(\xi', \eta + 1)$.

e) On suppose que $w(\xi) = \xi$ et que les relations $\alpha_0 \leq \xi \leq \xi'$ et $\alpha_0 \leq \eta < \eta'$ entraînent $g(\xi, \eta) < g(\xi, \eta')$ et $g(\xi, \eta) \leq g(\xi', \eta)$. On suppose en outre que, pour tout $\xi \geq \alpha_0$, $g(\xi, \eta)$ soit un symbole fonctionnel normal par rapport à $\eta$ (défini pour $\eta \geq \alpha_0$) et que, pour $\xi \geq \alpha_0, \eta \geq \alpha_0, \zeta \geq \alpha_0$, on ait la relation d’associativité $g(g(\xi, \eta), \zeta) = g(\xi, g(\eta, \zeta))$. Montrer alors que pour $\xi \geq \alpha_0, \eta \geq 1, \zeta \geq 1$, on a $g(f(\xi, \eta), f(\xi, \zeta)) = f(\xi, \eta + \zeta)$ (« distributivité » de $g$ par rapport à $f$) et $f(f(\xi, \eta), \zeta) = f(\xi, \eta \zeta)$ (« associativité » de $f$).