Bài tập 17, § 2

Cho một số thứ tự $\alpha_0$, một số hạng $f(\xi)$ được gọi là một ký hiệu phiếm hàm thứ tự (đối với $\xi$) được định nghĩa với $\xi \geqslant \alpha_0$ nếu quan hệ "$\xi$ là một số thứ tự và $\xi \geqslant \alpha_0$" kéo theo quan hệ "$f(\xi)$ là một số thứ tự"; $f(\xi)$ được gọi là chuẩn nếu quan hệ $\alpha_0 \leqslant \xi < \eta$ kéo theo $f(\xi) < f(\eta)$ và nếu, với mỗi họ $(\xi_\iota)_{\iota \in I}$ các số thứ tự $\geqslant \alpha_0$, ta có $\sup_{\iota \in I} f(\xi_\iota) = f(\sup_{\iota \in I} \xi_\iota)$ (xem Bài tập 14 (d)).

(a) Chứng minh rằng, với mỗi số thứ tự $\alpha > 0$, $\alpha + \xi$ và $\alpha\xi$ là các ký hiệu phiếm hàm chuẩn được định nghĩa với $\xi \geqslant 0$ (dùng Bài tập 15 (f)).

(b) Cho $w(\xi)$ là một ký hiệu phiếm hàm thứ tự được định nghĩa với $\xi \geqslant \alpha_0$ sao cho $w(\xi) \geqslant \xi$ và sao cho $\alpha_0 \leqslant \xi < \eta$ kéo theo $w(\xi) < w(\eta)$. Cũng cho $g(\xi, \eta)$ là một số hạng sao cho quan hệ "$\xi$ và $\eta$ là các số thứ tự $\geqslant \alpha_0$" kéo theo quan hệ "$g(\xi, \eta)$ là một số thứ tự sao cho $g(\xi, \eta) > \xi$".

Định nghĩa một số hạng $f(\xi, \eta)$ có các tính chất sau: (1) với mỗi số thứ tự $\xi \geqslant \alpha_0$, $f(\xi, 1) = w(\xi)$; (2) với mỗi số thứ tự $\xi \geqslant \alpha_0$ và mỗi số thứ tự $\eta > 1$, $f(\xi, \eta) = \sup_{0 < \zeta < \eta} g(f(\xi, \zeta), \xi)$ (dùng tiêu chuẩn C60 của no. 2). Chứng minh rằng nếu $f_1(\xi, \eta)$ là một số hạng khác có hai tính chất này, thì $f(\xi, \eta) = f_1(\xi, \eta)$ với mọi $\xi \geqslant \alpha_0$ và mọi $\eta \geqslant 1$. Chứng minh rằng, với mỗi số thứ tự $\xi \geqslant \alpha_0$, $f(\xi, \eta)$ là một ký hiệu phiếm hàm chuẩn đối với $\eta$ (được định nghĩa với mọi $\eta \geqslant 1$). Chứng minh rằng $f(\xi, \eta) \geqslant \xi$ với mọi $\eta \geqslant 1$ và $\xi \geqslant \alpha_0$, và rằng $f(\xi, \eta) \geqslant \eta$ với mọi $\xi \geqslant \sup(\alpha_0, 1)$ và $\eta \geqslant 1$. Hơn nữa, với mỗi cặp $(\alpha, \beta)$ các số thứ tự sao cho $\alpha > 0$, $\alpha \geqslant \alpha_0$, và $\beta \geqslant w(\alpha)$ tồn tại một số thứ tự $\xi$ duy nhất sao cho

và ta có $\xi \leqslant \beta$.

(c) Nếu lấy $\alpha_0 = 0$, $w(\xi) = \xi + 1$, $g(\xi, \eta) = \xi + 1$, thì $f(\xi, \eta) = \xi + \eta$. Nếu lấy $\alpha_0 = 1$, $w(\xi) = \xi$, $g(\xi, \eta) = \xi + \eta$, thì $f(\xi, \eta) = \xi\eta$.

(d) Chứng minh rằng nếu các quan hệ $\alpha_0 \leqslant \xi \leqslant \xi'$, $\alpha_0 \leqslant \eta \leqslant \eta'$ kéo theo $g(\xi, \eta) \leqslant g(\xi', \eta')$, thì các quan hệ $\alpha_0 \leqslant \xi \leqslant \xi'$, $1 \leqslant \eta \leqslant \eta'$ kéo theo $f(\xi, \eta) \leqslant f(\xi', \eta')$. Nếu các quan hệ $\alpha_0 \leqslant \xi \leqslant \xi'$, $\alpha_0 \leqslant \eta < \eta'$ kéo theo $g(\xi, \eta) < g(\xi, \eta')$ và $g(\xi, \eta) \leqslant g(\xi', \eta)$, thì các quan hệ $\alpha_0 \leqslant \xi < \xi'$ và $\eta \geqslant 0$ kéo theo $f(\xi, \eta + 1) < f(\xi', \eta + 1)$.

(e) Giả sử rằng $w(\xi) = \xi$ và các quan hệ $\alpha_0 \leqslant \xi \leqslant \xi'$, $\alpha_0 \leqslant \eta < \eta'$ kéo theo $g(\xi, \eta) < g(\xi, \eta')$ và $g(\xi, \eta) \leqslant g(\xi', \eta)$. Hơn nữa, giả sử rằng với mỗi $\xi \geqslant \alpha_0$, $g(\xi, \eta)$ là một ký hiệu phiếm hàm chuẩn đối với $\eta$ (được xác định với $\eta \geqslant \alpha_0$), và rằng, bất cứ khi nào $\xi \geqslant \alpha_0$, $\eta \geqslant \alpha_0$, và $\zeta \geqslant \alpha_0$, ta có quan hệ tính kết hợp

Chứng minh rằng, nếu $\xi \geqslant \alpha_0$, $\eta \geqslant 1$, và $\zeta \geqslant 1$, thì

("tính phân phối" của $g$ đối với $f$) và

("tính kết hợp" của $f$).