Exercice 6, § 2

Soient E un ensemble ordonné, f une application de E dans E telle que $f(x) \geq x$ pour tout $x \in E$. a) Soit $\mathfrak{G}$ l’ensemble des parties M de E ayant les propriétés suivantes: 1° la relation $x \in M$ entraîne $f(x) \in M$; 2° si une partie non vide de M admet une borne supérieure dans E, cette borne appartient à M. Pour tout élément $a \in E$, montrer que l’intersection $C_a$ des ensembles de $\mathfrak{G}$ contenant a appartient à $\mathfrak{G}$; en outre $C_a$ est bien ordonné, et si $C_a$ admet une borne supérieure b dans E, on a $b \in C_a$ et $f(b) = b$; on dit que $C_a$ est la chaîne de a (pour la fonction f). (Considérer l’ensemble $\mathfrak{M}$ formé de l’ensemble vide et des parties X de E contenant a, admettant une borne supérieure m dans E, et telles que l’on ait $m \notin X$ ou $f(m) > m$; appliquer convenablement à $\mathfrak{M}$ le lemme 3 de III, p. 19.) b) Déduire de a) que si E est inductif, il existe un élément $b \in E$ tel que $f(b) = b$.