Bài tập 6, § 2

Cho E là một tập hợp có thứ tự và cho $f$ là một ánh xạ của E vào E sao cho $f(x) \geqslant x$ với mọi $x \in E$.

(a) Cho $\mathfrak{G}$ là tập hợp các tập con M của E có các tính chất sau: (1) quan hệ $x \in M$ kéo theo $f(x) \in M$; (2) nếu một tập con khác rỗng của M có một cận trên bé nhất trong E, thì cận trên bé nhất này thuộc về M. Với mỗi $a \in E$, hãy chỉ ra rằng giao $C_a$ của các tập hợp thuộc $\mathfrak{G}$ chứa $a$ cũng thuộc $\mathfrak{G}$; rằng $C_a$ được sắp tốt; và rằng nếu $C_a$ có một cận trên $b$ trong E, thì $b \in C_a$ và $f(b) = b$. $C_a$ được gọi là xích của $a$ (đối với hàm $f$). (Xét tập hợp $\mathfrak{M}$ mà các phần tử là tập rỗng và các tập con X của E chứa $a$ và có một cận trên bé nhất $m$ trong E sao cho hoặc $m \notin X$ hoặc $f(m) > m$, và áp dụng Bổ đề 3 của số 3 cho tập hợp $\mathfrak{M}$.)

(b) Suy ra từ (a) rằng nếu E là quy nạp, thì tồn tại $b \in E$ sao cho $f(b) = b$.