Exercice 8, § 2

On dit qu’un ensemble ordonné E est ramifié (à droite) si, pour tout couple d’éléments $x, y$ de E tels que $x < y$, il existe $z > x$ tel que $y$ et $z$ soient incomparables. On dit que E est complètement ramifié (à droite) s’il est ramifié et s’il ne possède pas d’élément maximal. Tout ensemble afiltrant à droite (III, p. 74, exerc. 23) est ramifié. a) Soient E un ensemble ordonné, a un élément de E. Montrer que l’ensemble $\mathfrak{R}_a$ des parties ramifiées de E ayant a pour plus petit élément, ordonné par inclusion, admet un élément maximal. b) Si en outre E est fourchu (III, p. 74, exerc. 24), montrer que tout élément maximal de $\mathfrak{R}_a$ est complètement ramifié. c) Donner un exemple d’ensemble fourchu non ramifié. L’ensemble fourchu défini dans l’exerc. 24 c) de III, p. 74, est complètement ramifié. d) Soit E un ensemble dans lequel tout intervalle $]\leftarrow, x]$ est totalement ordonné. Montrer qu’il existe dans E un ensemble cofinal qui est afiltrant (III, p. 74, exerc. 22) (utiliser b)).