Bài tập 8, § 2

Một tập có thứ tự E được gọi là phân nhánh (bên phải) nếu, với mỗi cặp phần tử $x$, $y$ của E sao cho $x < y$, tồn tại $z > x$ sao cho $y$ và $z$ không so sánh được. E được gọi là phân nhánh hoàn toàn (bên phải) nếu nó là phân nhánh và không có phần tử cực đại. Mọi tập phản hướng (§ 1, bài tập 22) đều là phân nhánh.

(a) Cho E là một tập có thứ tự và cho $a$ là một phần tử của E. Ký hiệu $\mathfrak{R}_a$ là tập hợp các tập con phân nhánh của E nhận $a$ làm phần tử nhỏ nhất. Chứng minh rằng $\mathfrak{R}_a$, được sắp thứ tự bởi quan hệ bao hàm, có một phần tử cực đại.

(b) Nếu E là phân nhánh (§ 1, bài tập 24), chứng minh rằng mọi phần tử cực đại của $\mathfrak{R}_\alpha$ đều là phân nhánh hoàn toàn.

(c) Cho một ví dụ về một tập phân nhánh không phải là phân nhánh. Tập phân nhánh được định nghĩa trong §1, bài tập 24 (c) là phân nhánh hoàn toàn.

(d) Cho E là một tập hợp trong đó mỗi khoảng $]\leftarrow, x]$ được sắp thứ tự toàn phần. Chứng minh rằng E có một tập con đồng cuối phản hướng (§1, bài tập 22) (sử dụng (b)).